מתמטריק
בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 3 – מדרגות נעות: משפט פיתגורס ומשולשים דומים3 יחידות 371 · שיעור 39
בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 3

בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 3 – מדרגות נעות: משפט פיתגורס ומשולשים דומים

פרק 6 – דמיון משולשים
1נוסח השאלה
2סעיף א – אורך המדרגות AB
3סעיף ב – למה המשולשים דומים
4סעיף ג (1) – יחס הדמיון
5סעיף ג (2) – אורך העמוד DE
6סעיף ד – המרחק EC בין העמודים
📄 נוסח השאלה
במרכז קניות בן שתי קומות התקינו מדרגות נעות. המדרגות מתחילות בנקודה A שעל הקרקע ומסתיימות בנקודה B. הנקודה D נמצאת על הקטע AB.
למדרגות הוסיפו שני עמודי תמיכה, BC ו־DE המאונכים לקרקע. הנקודות A , E ו־C נמצאות על ישר אחד (ראו סרטוט).
נתון כי אורך הקטע AC הוא 9 מטרים, ואורך עמוד התמיכה BC הוא 6.75 מטרים.
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📄 נוסח השאלה · המשך
א. מצאו את אורך המדרגות הנעות (AB).
ב. הסבירו מדוע המשולשים ABC ו־ADE דומים זה לזה.
נתון כי אורך הקטע AD הוא 7.5 מטרים.
ג. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים ABC ו־ADE.
(2) מצאו את אורך עמוד התמיכה DE.
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. מצאו את המרחק בין שני עמודי התמיכה (EC).
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
סעיף א – אורך המדרגות AB
עמוד התמיכה BC מאונך לקרקע, ולכן ∢ACB = 90 מעלות, והמשולש ABC ישר זווית. AB – היתר (מול הזווית הישרה).
AB2 = AC2 + BC2
📐 משפט פיתגורס
נציב AC = 9 , BC = 6.75:
AB2 = 92 + 6.752
AB2 = 81 + 45.5625
AB2 = 126.5625
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
c – היתר, a , b – הניצבים
סעיף א – אורך המדרגות AB · המשך
AB2 = 126.5625
AB = √126.5625 = 11.25
✅ פתרון סופי: AB = 11.25 מטרים
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
סעיף ב – למה המשולשים דומים
במשולשים ABC ו־ADE:
1. ∢A – זווית משותפת לשני המשולשים.
2. ∢ACB = ∢AED = 90 מעלות – שני עמודי התמיכה מאונכים לקרקע.
יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים:
📐 משפט דמיון ז.ז
△ABC ∼ △ADE
✅ פתרון סופי: המשולשים דומים לפי ז.ז: זווית A משותפת, ו־∢ACB = ∢AED = 90 מעלות
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📐 משפט דמיון ז.ז
שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים
סעיף ג (1) – יחס הדמיון
הצלע AB במשולש הגדול מתאימה לצלע AD במשולש הקטן (שתיהן מול הזווית הישרה).
k = ABAD
📐 משולשים דומים
נציב AB = 11.25 , AD = 7.5:
k = 11.257.5
k = 1.5 = 32
✅ פתרון סופי: 32 (המשולש ABC גדול פי 1.5 מהמשולש ADE)
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ABAD = BCDE = ACAE
סעיף ג (2) – אורך העמוד DE
הצלע BC מתאימה לצלע DE (שתיהן מול הזווית A).
BCDE = 32
📐 משולשים דומים
נציב BC = 6.75:
6.75DE = 1.5
DE = 6.751.5
DE = 4.5
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ABAD = BCDE = ACAE
סעיף ג (2) – אורך העמוד DE · המשך
DE = 4.5
✅ פתרון סופי: DE = 4.5 מטרים
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
סעיף ד – המרחק EC בין העמודים
קודם נמצא את AE. הצלע AC מתאימה לצלע AE (הניצבים שעל הקרקע).
ACAE = 32
📐 משולשים דומים
נציב AC = 9:
9AE = 1.5
AE = 91.5 = 6
הנקודה E נמצאת בין A ל־C, ולכן:
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ABAD = BCDE = ACAE
סעיף ד – המרחק EC בין העמודים · המשך
הנקודה E נמצאת בין A ל־C, ולכן:
EC = AC − AE
נציב AC = 9 , AE = 6:
EC = 9 − 6 = 3
✅ פתרון סופי: EC = 3 מטרים
סרטוט המדרגות הנעות משאלה 3

📌 סיכום התשובות

סעיף א
AB = 11.25 מטרים
סעיף ב
דמיון לפי ז.ז
ג (1)
32
ג (2)
DE = 4.5 מטרים
סעיף ד
EC = 3 מטרים
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא